二分图学习笔记
从今天开始的未来5天将学习图论进阶，主要涉及进阶指南，luogu网课，以及有些（大量）图论定理的证明。
由于我的学习习惯，学个啥都得全弄明白可能导致进度偏慢。。不过严谨点总没太大坏处。
我们从二分图的定义说起
二分图：可以分成两组点集，点集内部无边相连，两点集之间有边。
十分好理解。
接下来要介绍二分图判定定理：一个图是二分图，当且仅当这个图不存在奇环。
我们需要证明必要性和充分性。
1.必要性。二分图的边是在两个集合里交替的，显然不会出现奇圈。
必要性：
考虑对图进行二分图染色。如果两个节点之间有一条长度为奇数的路径，那么显然两个点颜色不同，反之如果两个节点之间有一条长度为偶数的路径，那么两个点颜色必定相同（这是显然的）。
如果图中存在奇环，那么我们任取环上两点，可以发现如果从环的两边走，那么两条路径必定是一奇一偶的，所以我们无法就行二分图染色，即原图不是二分图。
充分性：
还是考虑二分图染色的过程。假设某个点的颜色既是黑色又是白色，那么说明从起点到这个点存在一条奇路径，也存在一条偶路径，那么我们就可以构造出一个奇环（因为两条路径之和是奇数）（注意这里的环不一定是简单环，有可能有某些边被走两次）。而原图不存在奇环，所以这种情况不可能发生，即原图一定可以被二分图染色，即原图就是个二分图。
这是来自ZQC的一个语言描述的证明，不过是正确的，想看更严谨的符号演绎证明（其实就是用符号表达啦）：
这样我们就搞定了二分图相关的第一个定理。并且可以用它来进行二分图染色从而判定二分图。
接下来就是更重要的二分图匹配定理相关，包括：
- Berge定理
- Hall定理
- Konig定理
hall定理是判定二分图是否存在完全匹配的定理，Konig等到点覆盖问题时会写。。
定理1：（Berge 1957）M是最大匹配的充要条件是G中无M的可增广轨
定理2：如果从一个点A出发，没有找到增广路径，那么无论再从别的点出发找到多少增广路径来改变现在的匹配，从A出发都永远找不到增广路径。
定理1，2可以看做匈牙利算法正确性的证明。
先给出定理1的证明（感谢LOJ群@pupil大佬的指点，我稍作改动使得更好理解）：
必要性显然。充分性使用反证法证明。
如果匹配M不是最大匹配且无增广轨，设M’是最大匹配，异或后得到边集H。
对于H，每条边的顶点要么度数为2要么度数为1。
这种图只能是交错边偶环或交错边形成的链。并且可以知道必定有一条链其起点和终点都是非匹配点（因为点集不同，且M’要大），又因为这是一条交错边的链，所以这是M的一条增广轨，与假设矛盾。
因此匹配M在无增广轨的情况下必定是二分图最大匹配。
怕我说的有问题，再找一个网上的（一般的图论书里这种定理肯定有证明，有时间买一本）
假设M不是最大匹配，则说明存在比M更大的一个匹配M”,则取H ={M并M” - M交M”},则H里，顶点的度不是1就是2.不存在度为0的顶点。则H的连通片，或者是M”与M中的边交替出现的一个偶圈，或者是M”与M中的边交替出现的一条轨。又因为|M”| > |M|,必有H的某个连通片是轨，且此轨是M”的边为终止边（实际上包含起边和终边），于是得到了M的可增广轨，与M中无增广轨矛盾。
下面证明定理2：
假设我们对点A进行了两次，增广，第一次没有找到增广路，第二次找到了。下面需要证明这样是矛盾的，因为如果第二次可以找到，那么在第一次找时就应该找到了。
前面说过了实际上这个定理利用了1，或者它们证明的方法完全是一样的，我们可以用在第一次增广A时的那个匹配替换上面的M，而第二次增广A之后得到的那个匹配集显然就是上面的M”。两者的区别就在现在那个增广轨的位置已经确定了，因为这里的A点首先他必然不在M中，但是第二次从A处找到了一条增广轨，所以它必然的被加入了M”中，这也就意味着定理1证明中苦苦寻觅的那个增广轨在这里变成了确定的，就是从A开始的，也就是说实际上在第1次增广A时就应该找到这条增广轨了，于是矛盾。
匈牙利算法的原理就是不断找到增广路更新，从而得到最大的图匹配。
代码早就写过了，主要就是证明其正确性，毕竟背板子做图论题没有什么意思。
下午有时间再去思考一下这些定理以及推论，并且完成下Hall定理的推论。
接下来是二分图的覆盖与独立集
最小点覆盖问题
求出一个最小点集S，使得每条边都有至少一个端点被选中。
Konig定理
最小点覆盖=最大图匹配
证明
鸣谢@Matrix67
假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配（假设它等于M），下面给出的方法可以告诉我们，选哪M个点可以覆盖所有的边。
匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点，走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现”的路（交错轨，增广路）。但是，现在我们已经找到了最大匹配，已经不存在这样的路了。换句话说，我们能寻找到很多可能的增广路，但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。我们给所有这样的点打上记号：从右边的所有没有匹配过的点出发，按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点（最后走出的路径是很多条不完整的增广路）。那么这些点组成了最小覆盖点集：右边所有没有打上记号的点，加上左边已经有记号的点。看图，右图中展示了两条这样的路径，标记了一共6个点（用 “√”表示）。那么，用红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。
首先，为什么这样得到的点集点的个数恰好有M个呢？答案很简单，因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。如果右边的哪个点是没有匹配过的，那么它早就当成起点被标记了；如果左边的哪个点是没有匹配过的，那就走不到它那里去（否则就找到了一条完整的增广路）。而一个匹配边又不可能左端点是标记了的，同时右端点是没标记的（不然的话右边的点就可以经过这条边到达了）。因此，最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。
其次，为什么这样得到的点集可以覆盖所有的边呢？答案同样简单。不可能存在某一条边，它的左端点是没有标记的，而右端点是有标记的。原因如下：如果这条边不属于我们的匹配边，那么左端点就可以通过这条边到达（从而得到标记）；如果这条边属于我们的匹配边，那么右端点不可能是一条路径的起点，于是它的标记只能是从这条边的左端点过来的（想想匹配的定义），左端点就应该有标记。
最后，为什么这是最小的点覆盖集呢？这当然是最小的，不可能有比M还小的点覆盖集了，因为要覆盖这M条匹配边至少就需要M个点（再次回到匹配的定义）。
证完了。
进阶指南上正好相反，从左边非匹配点出发标记，最后左边未被标记的和右边被标记的和上面是一一对应的。
PS：Matrix67的post好多啊。而且都很有意思的样子。还有演算法笔记似乎是不错的学习资料：
http://www.csie.ntnu.edu.tw/~u91029/
好像是台湾某大学的。