bef-> NO.46

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P4949 最短距离

题目描述

给出一个 N 个点 N 条边的无向连通图。

你需要支持两种操作：

  1. 修改 第 x 条边的长度为 y ；
  2. 查询 点 x 到点 y 的最短距离。

共有 M 次操作。

输入输出格式

输入格式：

输入共 N + M + 1 行：

第 1 行，包含 2 个正整数 N，M，表示点数即边数，操作次数。

第 2 行到第 N + 1 行，每行包含 3 个正整数 x，y，z，表示 x 与 y 间有一条长度 为 z 的边。

第 N + 2 到 N + M + 1 行，每行包含 3 个正整数 opt，x，y，表示操作种类，操作的参数（含义见【题目描述】）。

输出格式：

对于每次操作 2 输出查询的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

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输出样例#1：

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说明

Luogu

题解

这道题思维难度还行，代码实现难度略高。

首先我们需要实现支持以下功能的函数：

  • O(1)查询每条边代表的点，断边为0即可
  • O(1)维护环上边权总和
  • O(1)查询一条边是否为割边。
  • O(1)查询邻接表中每个编号所对应的读入顺序
  • O(1)查询一个点所属的环子树

接下来任选一条边断开，将这颗树用HPD维护。

当给出一个修改操作时

  • 如果是树边，直接HPD维护，
  • 如果是环边，O(1)在数组中修改这条环边边权，O(1)更新环上边权总和，O(nlogn)更新HPD这条边对应点点权

对于查询操作

  • 如果两点属于同一环子树，直接查询两点距离，
  • 如果属于不同子树，需要考虑环上另一条路径长度（O(1)查询即可），复杂度同样

上一下一遍过的Code（NOIP要是我代码能力发挥出写这题的一半就不会炸这么惨。。。）：

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#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <stack>
#define maxn 105005
#define ll long long
int n , head[maxn] , cnt = 1 , u , v , circle[maxn] , m , eref[maxn << 1];
ll val[maxn];
struct edge{
	int next , to ;
	ll dis;
}e[maxn<<1];
inline bool isEdge(int x , int y)
{
	if(x == u && y == v)	return false;
	if(x == v && y == u)	return false;
	return true;
}
inline bool c(int x){
	return circle[x];
}
inline void add(int x , int y , ll d)
{
	e[++cnt].next = head[x];
	e[cnt].to = y;
	e[cnt].dis = d;
	head[x] = cnt;
}
namespace cir{
	int dfn[maxn] , low[maxn] , idx , tot , cirnum , sz[maxn];
	bool flag;
	std::stack<int> st;
	void DFS_CIRCLE(int x , int pre)
	{
		if(flag)	return;
		dfn[x] = low[x] = ++idx;
		st.push(x);
		for(int i = head[x] ; i ; i = e[i].next){
			int v = e[i].to;
			if(!dfn[v]){
				DFS_CIRCLE(v , x);
				low[x] = std::min(low[x] , low[v]);
			}
			else if(v != pre)	low[x] = std::min(low[x] , dfn[v]);
		}
		if(dfn[x] == low[x])
		{
			++tot;
			while(st.top() != x)
			{
				circle[st.top()] = tot;
				++sz[tot];
				st.pop();
			}
			circle[st.top()] = tot;
			++sz[tot];
			st.pop();
			if(sz[tot] > 1)
			{
				flag = true;
				cirnum = tot;
				return;
			}
		}
	}
	void pre()
	{
		DFS_CIRCLE(1,1);
		for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)
			if(circle[i] != cirnum)
				circle[i] = 0;
		for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){
			if(circle[i]){
				u = i;
				for(int j = head[i] ; j ; j = e[j].next){
					if(circle[e[j].to])	v = e[j].to;
				}				
				break;
			}
		}
	}
}
struct SegmentTree
{
	#define ls(x) (x << 1)
	#define rs(x) (x << 1 | 1)
	#define pushup(x) sum[x] = sum[ls(x)] + sum[rs(x)] 
	ll sum[maxn<<2];
	void build(int l , int r , int Node , ll v[])
	{
		if(l == r)
		{
			sum[Node] = v[l];
			return;
		}
		int mid = l + r >> 1;
		build(l , mid , ls(Node) , v);
		build(mid + 1 , r , rs(Node) , v);
		pushup(Node);
	}
	void update(int p , int l , int r , int Node , ll v)
	{
		if(l == r){
			sum[Node] = v;
			return;
		}
		int mid = l + r >> 1;
		if(p <= mid) 	update(p , l , mid , ls(Node) , v);
		else update(p , mid + 1 , r , rs(Node) , v);
		pushup(Node);
	}
	ll query(int L , int R , int l , int r , int Node)
	{
		if(L <= l && r <= R){
			return sum[Node];
		}
		int mid = l + r >> 1 ;
		ll ans = 0;
		if(L <= mid)	ans += query(L , R , l , mid , ls(Node));
		if(R > mid)		ans += query(L , R , mid + 1 , r , rs(Node));
		return ans;
	}
};
struct HPD
{
	int id[maxn] , hs[maxn] , sz[maxn] , top[maxn] , f[maxn] , dep[maxn] , idx;
	ll v[maxn];
	SegmentTree tr;
	void dfs1(int x , int fx)
	{
		dep[x] = dep[fx] + 1;
		f[x] = fx;
		sz[x] = 1;
		for(int i = head[x] ; i ; i = e[i].next){
			int v = e[i].to;
			if(v == fx || !isEdge(x , v))	continue;
			dfs1(v , x);
			sz[x] += sz[v];
			if(sz[v] > sz[hs[x]])	hs[x] = v;
		}
	}
	void dfs2(int x , int topv)
	{
		top[x] = topv;
		id[x] = ++idx;
		v[id[x]] = val[x];
		if(!hs[x])	return;
		dfs2(hs[x] , topv);
		for(int i = head[x] ; i ; i = e[i].next){
			int ver = e[i].to;
			if(ver == f[x] || !isEdge(x , ver) || ver == hs[x])	continue;
			dfs2(ver , ver);
		}
	}
	void build(){
		tr.build(1,n,1,v);
	}
	inline ll query(int x , int y)
	{
		ll ans = 0;
		while(top[x] != top[y]){
			if(dep[top[x]] < dep[top[y]])	std::swap(x,y);
			ans += tr.query(id[top[x]] , id[x] , 1 , n , 1);
			x = f[top[x]];
		}
		if(dep[x] < dep[y])	std::swap(x,y);
		ans += tr.query(id[y] , id[x] , 1 , n , 1);
		ans -= tr.query(id[y] , id[y] , 1 , n , 1);
		return ans;
	}
	void update(int p , ll x){
		if(!p)	return;
		tr.update(id[p] , 1 , n , 1 , x);
	}
}forest;
namespace Solve
{
	ll cirsum , cirEdis[maxn << 1];
	int eid[maxn << 1] , bl[maxn] , cirnum; // the edge to the point 
	bool cire[maxn << 1]; // the type of points
	void DFS_Down(int x , int fx , ll dis , int Enum) // Enum -> the real id of edge
	{
		val[x] = dis;
		eid[Enum] = x;
		for(int i = head[x] ; i ; i = e[i].next){
			int v = e[i].to;
			if(v == fx)	continue;
			if(!isEdge(x , v))	continue;
			DFS_Down(v , x , e[i].dis , eref[i]);
		}
	}
	void getBelong(int x , int fx , int rt)
	{
		bl[x] = rt;
		for(int i = head[x] ; i ; i = e[i].next)
			if(e[i].to != fx && !circle[e[i].to])
				getBelong(e[i].to , x , rt);
	}
	inline ll q(int x , int y)
	{
		if(bl[x] == bl[y]){
			return forest.query(x,y);
		}
		else{
			ll ans = forest.query(x,y);
			ll tmp = forest.query(bl[x] , bl[y]);
			ans -= tmp;
			tmp = std::min(tmp , cirsum - tmp);
			ans += tmp;
			return ans;
		}
	}
	inline void upd(int x , ll y)
	{
		int p = eid[x];
		if(cire[x]){
			cirsum += y - cirEdis[x];
			cirEdis[x] = y;
		}
		forest.update(p , y);
	}
	inline void solve()
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){
			int x , y ;
			ll d;
			scanf("%d%d%lld",&x,&y,&d);
			add(x,y,d) , eref[cnt] = i , add(y,x,d) , eref[cnt] = i;
		}
		cir::pre();// get the circle , identify the edge to cut
		DFS_Down(1 , 1 , 0 , 0); // the root must be invalid !!
		forest.dfs1(1 , 1);
		forest.dfs2(1 , 1);
		forest.build();
		for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){
			if(circle[i]){
				getBelong(i , i , i);
				for(int j = head[i] ; j ; j = e[j].next)
					if(circle[e[j].to])
						cire[eref[j]] = true , cirsum += e[j].dis , cirEdis[eref[j]] = e[j].dis;
			} 
		}
		cirsum >>= 1;
		for(int i = 1 ; i <= m ; ++i){
			int op ,x , z;
			ll y;
			scanf("%d",&op);
			if(op == 1){
				scanf("%d%lld",&x,&y);
				upd(x,y);
			}
			if(op == 2){
				scanf("%d%d",&x,&z);
				printf("%lld\n",q(x,z));
			}
		}
	}
}
int main()
{
	Solve::solve();
}