bef-> NO.34

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今天虽然放假，不过考虑到NOIp还有6天，还是在家好好学学OI吧。（NOIp怎么也得拿个省一吧）

P1073 最优贸易

题目描述

CC国有nn个大城市和mm 条道路，每条道路连接这 nn个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 mm 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 11条。

CC国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 CC 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 CC 国 n 个城市的标号从 1~ n1 n，阿龙决定从 11号城市出发，并最终在 nn 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 nn 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 CC 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 CC国有 55个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

img

假设 1~n1 n 号城市的水晶球价格分别为 4,3,5,6,14,3,5,6,1。

阿龙可以选择如下一条线路：11->22->33->55，并在 22号城市以33 的价格买入水晶球，在 33号城市以55的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路11->44->55->44->55，并在第11次到达55 号城市时以 11的价格买入水晶球，在第 22 次到达44 号城市时以66 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为55。

现在给出 nn个城市的水晶球价格，mm 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含 22 个正整数nn和 mm，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。

接下来 mm 行，每行有33个正整数x,y,zx,y,z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1z=1，表示这条道路是城市xx到城市yy之间的单向道路；如果z=2z=2，表示这条道路为城市 xx和城市yy之间的双向道路。

输出格式：

一 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 00。

输入输出样例

输入样例#1：

1
2
3
4
5
6
7
5 5 
4 3 5 6 1 
1 2 1 
1 4 1 
2 3 2 
3 5 1 
4 5 2

输出样例#1：

1
5

说明

【数据范围】

输入数据保证 11 号城市可以到达nn号城市。

对于 10%的数据，1≤n≤61≤n≤6。

对于 30%的数据，1≤n≤1001≤n≤100。

对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 100%的数据，1≤n≤1000001≤n≤100000，1≤m≤5000001≤m≤500000，1≤x1≤x，y≤ny≤n，1≤z≤21≤z≤2，1≤1≤各城市

水晶球价格≤100≤100。

NOIP 2009 提高组 第三题

题解

一道挺不错的题，现在D1T2难度正合适。

主要是用最短路中松弛的思想来找到dp顺序并优化dp。

最初在考场上没看到要到点n结果爆零实际上很接近正解。

话说这道题还有分层图的做法不如一会看看，今天上午准备学一下分层图。

设

表示最大差值，然后记录能到达当前点的最小值，和当前点做差的值与前面得到的差值的最大值取最大即可。

Code：

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53
54
55
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <queue>
#define INF 0x7ffffff
#define maxn 100005
std::vector<int> g[maxn];
int f[maxn] , n , m , val[maxn] , minn[maxn];
bool vis[maxn];
void SPFA(int x)
{
    std::queue<int> q;
    q.push(x);
    vis[x] = true;
    while(!q.empty()){
        int k = q.front();
        vis[k] = false;
        q.pop();
        for(int i = 0 ; i < (int)g[k].size() ; ++i){
            int v = g[k][i];
            minn[v] = std::min(minn[v] , minn[k]);
            if(val[v] - minn[k] > f[v]){
                f[v] = val[v] - minn[k];
                if(!vis[v]) q.push(v);
            }
            if(f[k] > f[v]){
                f[v] = f[k] ;
                if(!vis[v]) q.push(v);
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x , y , t;
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)
        scanf("%d",&val[i]);
    for(int i = 1 ; i <= m ; ++i){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&t);
        g[x].push_back(y);
        if(t == 2){
            g[y].push_back(x);
        }
    }
    std::memset(f,-0x7f,sizeof(f));
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++i)
        minn[i] = val[i];
    SPFA(1);
    if(f[n] < 0)    f[n] = 0;
    printf("%d",f[n]);
}

P4568 [JLOI2011]飞行路线

题目描述

Alice和Bob现在要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在nn个城市设有业务，设这些城市分别标记为00到n-1n−1，一共有mm种航线，每种航线连接两个城市，并且航线有一定的价格。

Alice和Bob现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市，途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推出优惠，他们可以免费在最多kk种航线上搭乘飞机。那么Alice和Bob这次出行最少花费多少？

输入输出格式

输入格式：

数据的第一行有三个整数，n,m,kn,m,k，分别表示城市数，航线数和免费乘坐次数。
第二行有两个整数，s,ts,t，分别表示他们出行的起点城市编号和终点城市编号。
接下来有m行，每行三个整数，a,b,ca,b,c，表示存在一种航线，能从城市aa到达城市bb，或从城市bb到达城市aa，价格为cc。

输出格式：

只有一行，包含一个整数，为最少花费。

输入输出样例

输入样例#1：

1
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4
5
6
7
8
5 6 1
0 4
0 1 5
1 2 5
2 3 5
3 4 5
2 3 3
0 2 100

输出样例#1：

1
8

说明

对于100%的数据,

题解

听说这道题是高端的分层图模型，然后我设了个dp状态随便转移就AC了。。

其实不是一次AC，因为我SPFA被卡了一个点。。

90分SPFA：

1
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62
63
64
65
66
67
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
#define maxn 10005
#define maxk 21
struct Node{
    int v , dis;
};
struct STA{
    int u , k , val;
    bool operator < (const Node& x)const{
        return val < x.val;
    }
};
int n , m , f[maxn][maxk] , s , t , kmax;
bool vis[maxn][maxk];
std::vector<Node> g[maxn];
inline void SPFA(int s)
{
    std::queue<Node> q;
    f[s][0] = 0;
    vis[s][0] = true;
    q.push((Node){s,0});
    while(!q.empty())
    {
        int u = q.front().v , k = q.front().dis;//Node: the dis not the distance!
        vis[u][k] = false;
        q.pop();
        for(int i = 0 ; i < g[u].size() ; ++i){
            int v = g[u][i].v , d = g[u][i].dis;
            if(f[u][k] < f[v][k+1] && k + 1 <= kmax){
                f[v][k+1] = f[u][k];
                if(!vis[v][k+1]){
                    vis[v][k+1] = true;
                    q.push((Node){v,k+1});
                }
            }
            if(f[u][k] + d < f[v][k] && k <= kmax){
                f[v][k] = f[u][k] + d;
                if(!vis[v][k]){
                    vis[v][k] = true;
                    q.push((Node){v,k});
                }
            }
        }
    }

}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&kmax);
    int x , y , dis;
    scanf("%d%d",&s,&t);
    ++s,++t;
    for(int i = 1 ; i <= m ; ++i){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&dis);
        g[x+1].push_back((Node){y+1,dis});
        g[y+1].push_back((Node){x+1,dis});
    }
    std::memset(f,0x7f,sizeof(f));
    SPFA(s);
    printf("%d",f[t][kmax]);
}

AC Code：

1
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53
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55
56
57
58
59
60
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
#define maxn 10005
#define maxk 21
struct Node{
    int v , dis;
};
struct STA{
    int u , k , val;
    bool operator < (const STA& x)const{
        return val > x.val;
    }
};
int n , m , f[maxn][maxk] , s , t , kmax;
bool vis[maxn][maxk];
std::vector<Node> g[maxn];
inline void SPDIJ(int s)
{
    std::priority_queue<STA> q;
    f[s][0] = 0;
    q.push((STA){s,0,f[s][0]});
    while(!q.empty())
    {
        int u = q.top().u , k = q.top().k;
        q.pop();
        if(vis[u][k])   continue;
        vis[u][k] = true;
        for(int i = 0 ; i < (int)g[u].size() ; ++i){
            int v = g[u][i].v , dis = g[u][i].dis;
            if(f[u][k] + dis < f[v][k] && k <= kmax){
                f[v][k] = f[u][k] + dis;
                q.push((STA){v,k,f[v][k]});
            }
            if(f[u][k] < f[v][k+1] && k + 1 <= kmax){
                f[v][k+1] = f[u][k];
                q.push((STA){v,k+1,f[v][k+1]});
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&kmax);
    int x , y , dis;
    scanf("%d%d",&s,&t);
    ++s,++t;
    for(int i = 1 ; i <= m ; ++i){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&dis);
        g[x+1].push_back((Node){y+1,dis});
        g[y+1].push_back((Node){x+1,dis});
    }
    std::memset(f,0x7f,sizeof(f));
    SPDIJ(s);
    printf("%d",f[t][kmax]);
}